Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 3 e^{t} & e^{2 t} \\ 2 e^{t} & 2 e^{2 t} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

$a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$3 e^{t} (2 e^{2 t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \cdot 2 e^{t} e^{2 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$e^{t}$ par

$e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Déplacez

$e^{2 t}$ .

$3 \cdot 2 (e^{2 t} e^{t}) - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 \cdot 2 e^{2 t + t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.2.3

Additionnez

$2 t$ et

$t$ .

$3 \cdot 2 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez

$3$ par

$2$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{t} e^{2 t}$

Étape 2.2.1.4

Multipliez

$e^{t}$ par

$e^{2 t}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.4.1

Déplacez

$e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - 2 (e^{2 t} e^{t})$

Étape 2.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t + t}$

Étape 2.2.1.4.3

Additionnez

$2 t$ et

$t$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{3 t}$

Étape 2.2.2

Soustrayez

$2 e^{3 t}$ de

$6 e^{3 t}$ .

$4 e^{3 t}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{4 e^{3 t}} [\begin{array}{c} 2 e^{2 t} & - e^{2 t} \\ - 2 e^{t} & 3 e^{t} \end{array}]$

Étape 5

Multipliez

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4 e^{3 t}} (2 e^{2 t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Factorisez

$2$ à partir de

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 2 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{2 t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.3

Associez

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ et

$e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à

$e^{2 t}$ et

$e^{3 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.2.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (- e^{2 t}) \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{2 t} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.6

Associez

$e^{2 t}$ et

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{2 t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7

Annulez le facteur commun à

$e^{2 t}$ et

$e^{3 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$e^{2 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{4 e^{3 t}} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.7.2.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{3 t} e^{- t}}{e^{3 t} \cdot 4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ \frac{1}{4 e^{3 t}} (- 2 e^{t}) & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - 2 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9

Annulez le facteur commun de

$2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.9.1

Factorisez

$2$ à partir de

$- 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.2

Factorisez

$2$ à partir de

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 (- 1) \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ 2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 e^{3 t})} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.9.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{1}{2 e^{3 t}} e^{t} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.10

Associez

$e^{t}$ et

$\frac{1}{2 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11

Annulez le facteur commun à

$e^{t}$ et

$e^{3 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{2 e^{3 t}} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.11.2.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$2 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{3 t} e^{- 2 t}}{e^{3 t} \cdot 2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{1}{4 e^{3 t}} (3 e^{t}) \end{array}]$

Étape 6.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & 3 \frac{1}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 6.13

Associez

$3$ et

$\frac{1}{4 e^{3 t}}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3}{4 e^{3 t}} e^{t} \end{array}]$

Étape 6.14

Associez

$\frac{3}{4 e^{3 t}}$ et

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{t}}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Étape 6.15

Annulez le facteur commun à

$e^{t}$ et

$e^{3 t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.15.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$3 e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{4 e^{3 t}} \end{array}]$

Étape 6.15.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.15.2.1

Factorisez

$e^{3 t}$ à partir de

$4 e^{3 t}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Étape 6.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{e^{3 t} (3 e^{- 2 t})}{e^{3 t} \cdot 4} \end{array}]$

Étape 6.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{e^{- t}}{2} & - \frac{e^{- t}}{4} \\ - \frac{e^{- 2 t}}{2} & \frac{3 e^{- 2 t}}{4} \end{array}]$